exemple d`exercice de produit en croix

Posted by adminfeira - 15 diciembre, 2018 - Sin categoría - No Comments

Ensuite, nous multiplions par le vecteur n pour s`assurer qu`il se dirige dans la bonne direction (à angle droit à la fois a et b). Trouvez et expliquez la valeur de $ ({bf i} times {bf j}) times {bf k} $ et $ ({bf i} + {bf j}) times ({bf i}-{bf j}) $. Regardons un exemple simple: Let $ {bf A} = langle a, 0, 0 rangle $, $ {bf B} = langle b, c, 0 rangle $. Déterminez si des valeurs existent pour un tel que A, B et C sont trois sommets d`un parallélogramme de la zone 3. Comme pour le produit point, le produit croisé de deux vecteurs contient des informations précieuses sur les deux vecteurs eux-mêmes. Le théorème 14. Nous savons comment calculer l`amplitude de $ {bf A} times{bf B} $; C`est un peu désordonné mais pas difficile. Nous voulons trouver un vecteur $ DS {bf v} = langle V_1, V_2, v_3rangle $ with $ {bf v} cdot{bf A} = {bf v} cdot{bf B} = 0 $, ou $ $ eqalign{a_1v_1 + a_2v_2 + a_3v_3 & = 0, cr b_1v_1 + b_2v_2 + b_3v_3 & = 0. Imaginez placer le talon de votre main droite au point où les queues sont jointes, de sorte que vos doigts légèrement enroulé indiquent le sens de rotation de $ bf A $ à $ bf B $. Calculez le produit croisé entre $ VC{a} = (3,-3, 1) $ et $ VC{b} = (4, 9, 2) $. Montrez que trois vecteurs se trouvent dans le même plan si et seulement si leur triple produit est nul. Prouvez que pour tous les vecteurs $ {bf u} $ et $ {bf v} $, $ ({bf u} times{bf v}) cdot{bf v} = 0 $.

Ex 14. Supposons $ DS {bf A} = langle A_1, a_2, a_3rangle $ et $ DS {bf B} = langle B_1, b_2, b_3rangle $. Définissez le triple produit de trois vecteurs, $ {bf x} $, $ {bf y} $, et $ {bf z} $, pour être le scalaire $ {bf x} cdot ({bf y} times {bf z}) $. Il est un peu plus facile de travailler d`abord avec le carré de l`amplitude, afin d`éviter la racine carrée: $ $ eqalign{| { bf A} times{bf B} | ^ 2 & = (a_2b_3-b_2a_3) ^ 2 + (b_1a_3-a_1b_3) ^ 2 + (a_1b_2-b_1a_2) ^ 2 CR & = a_2 ^ 2b_3 ^ 2-2a_2b_3b_2a_3 + b_2 ^ 2a_3 ^ 2 + B_1 ^ 2a_3 ^ 2-2b_1a_3a_1b_3 + A_1 ^ 2b_3 ^ 2 + A_1 ^ 2b_2 ^ 2-2a_1b_2b_1a_2 + B_1 ^ 2a_2 ^ 2 CR} $ $ alors qu`il est loin d`être évident, cette expression méchant prospectifs peut être simplifiée: $ $ eqalign{| { bf A} times{bf B} | ^ 2 & = (A_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + A_3 ^ 2) (B_1 ^ 2 + b_2 ^ 2 + b_3 ^ 2)-(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3) ^ 2 CR & = | {bf A} | ^ 2 | {bf B} | ^ 2-({bf A} cdot{bf B}) ^ 2 CR & = | {bf A} | ^ 2 | {bf B} | ^ 2-| {bf A} | ^ 2 | {bf B} | ^ 2 cos ^ 2 thetacr & = | {bf A} | ^ 2 | {bf B} | ^ 2 (1-cos ^ 2 theta) cr & = | {bf A} | ^ 2 | {bf B} | ^ 2 Sin ^ 2 thetacr | {bf A} times{bf B} | & = | {bf A} | | {bf B} | sinthetacr} $ $ l`amplitude de $ {bf A} times{bf B} $ est donc très similaire au produit dot. Cette réponse particulière au problème s`avère avoir quelques belles propriétés, et il est digne d`un nom: le produit croisé: $ $ {bf A} times{bf B} = langle a_2b_3-b_2a_3, b_1a_3-a_1b_3, a_1b_2-b_1a_2rangle. Le produit croisé est $ $ eqalign{{bf A} times {bf B} = left | matrix{{bf i} & {bf j} & {bf k} cr a & 0 & 0 CR b&c & 0 CR} droite | & = langle 0, 0, acrangle. Ex 14. En utilisant l`expression ci-dessus pour le produit croisé, nous constatons que la zone est $ sqrt{15 ^ 2 + 2 ^ 2 + 39 ^ 2} = 5 sqrt{70} $.